2. 微分

导数

切线

描述一条直线需要两个信息：直线上的一点和该直线的斜率。在 的定义域上选取一点 ，点 位于 的图像上。要找到该点的切线，还需要求出斜率。选取一个靠近于 的数 ，则通过点 和 的直线斜率为：

当 趋近于 而未到达，利用极限便可取得通过 的斜率：

设 ，量 表示对 作了多少改变，因此可以用量 替换， 表示「变化」。我们有

导函数

的通过 的切线的斜率的函数称为 的导数，写作 。对 关于变量 求导得到函数 。若 在 点的极限存在，则 在 点可导，有

同样， 的变化量也可以改写为 ：

上式可阐释为， 中的一个小变化产生了 倍的 中的变化，或者说， 的变化为 乘以 的变化—— 是一种「拉伸因子」。

若对于特定 ，极限不存在，则 不存在于 的定义域中，即 在 点不可导。

上式可进一步改写。 表示「 中的变化」，而 可直接表示「 中微小的变化」，因此：

注意， 不是分数，而是 关于 的导数，即 时分数 的极限。

高阶导数

导数的导数称为二阶导，写作 或 。我们用 代替 ，类似地，

更高阶导数使用相同的方式表示。

可导性和连续性

设 可导，则 存在，即极限 存在。我们有：

即，

证明，若 在 上可导，则它在 上连续，即「可导则连续」。反之，连续不一定可导。

求导

使用定义

利用导数定义对 求导，直接用 替换 会得到不定式 ，因此，基本思想是通分化简：

即，

对 求导则需要利用共轭表达式：

即，

更一般地，对 求导：

即，

运算法则

由极限的运算法则，对于函数的常数倍、和差，显然有

对于乘积函数，有

即，

类似地，对于三项乘积，有

对于商函数，有

即，

复合函数链式求导

设 、，即， 是 的函数， 是 的函数。关注函数 ，根据导数的定义，我们知道

据此推测，若 是 的函数， 是 的函数，则有

图像意义

极值

若 在 点处有最大值或最小值，则称 为 的一个极值点。极值分为全局极值（绝对极值）——整个定义域内的极值，和局部极值（相对极值）——在某点附近的极值。全局极值也一定是局部极值。若 在 处的导数为零或导数不存在，则称 为 的一个临界点。

极值定理描述，对定义在开区间 内的函数 上的点 ，若点 为局部极值，则也一定为函数的临界点，即 或 不存在。

即，开区间内的极值一定出现在临界点。但是，临界点不一定是极值：如，，即 是临界点，但显然不是极值点。而对于闭区间，局部极值可能出现在端点，因此不在上述定理的讨论范围内。

由于极值点一定是临界点，要求取有限定义域 上的全局极值，仅需考虑所有的临界点以及端点 和 。例如，考虑 ，。列出其临界点及端点值：

全局极值显然。考虑 处的情况：根据导数的性质，临界点间任意一点的导数应有相同的符号，即函数值在对应区间内单调。因此，根据上表， 在 持续递减， 不可能是极值点。另一方面，若 是极值点，则就要求其左右两侧中的一侧有额外的极值点，如下图所示。

罗尔定理

对于在闭区间 连续，开区间 可导的函数 ，若 ，则 内至少存在一点 ，使得 ，即 在 内至少有一个临界点。下图为不符合描述的三种情况：

中值定理

对于在闭区间 连续，开区间 可导的函数 ， 内至少有一点 ，使得 ，即，有限连续函数的导数必定在某一点上为其平均值，或者说，瞬时变化率等于区间内的平均变化率。观察可知，中值定理与罗尔定理的适用条件相近。事实上，（拉格朗日）中值定理是罗尔（中值）定理的推广。若在 条件下应用中值定理，则 内有一点 ，使得 。

例如，要证明：，则 与 最多有一个交点，使用反证法，假设交点不止一个，任选交点中的两个，记为 和 ，使得 ，根据中值定理，在 内存在一点 使得 ，不成立，因而原命题成立。

中值定理的推论

1. 若 ，则 。
2. 若 ，则 为增函数；若 ，则 为减函数。

二阶导数

意味着 为增函数，即 的图像上点的切线斜率随 递增，函数图像凹向上；反之， 意味着 为减函数，函数图像凸向下。若二阶导数符号不定，则图像凹凸性会发生改变。

上图所对应函数的二阶导数在 点前的为负， 点后为正。称 点为函数的拐点，因为凹凸性（二阶导数符号）发生了改变。由于函数及其导数连续，。但反之，通过 无法下达任何结论。

临界点的分类

对于 ，即 为 的临界点，唯一确定事实便是该点切线水平。要确定临界点的类型（局部最大值、局部最小值或水平拐点），有两种方法：

1. 观察 点附近的一阶导数：从左向右， 由正变负，则 点为局部最大值； 由负变正，则 点为局部最小值； 符号不变，则 点为水平拐点。
2. 观察 点的二阶导数：，则 点为局部最小值；，则 点为局部最大值； 则无法确认。

三角函数

三角函数有关极限

时， 与 近似相等。例如，。因此，我们推测

之极限是解决三角函数微积分问题的关键。首先考虑其 的右极限，设扇形 为单位圆的一部分，夹角为 ，面积为 。如图所示， 为 到 的垂线，延长 与圆在点 之切线交于点 。根据三角函数定义，易标注出 和 长度对应之线段。

，，观察图像可知

整理可得到一个重要的不等式：

将上式取倒数并乘以 ，有

显然，至此便可根据三明治定理直接写出

考虑 ，设 ，

即证明

若接受 连续的事实，则也有

因此，便可由 得到

若将 替换为 ，极限显然有效

注意到，当 时，，因此

事实上，只要上式分母与分子中正弦或正切的变量匹配，且趋近于 ，则极限成立。总结为：

对于变量不匹配的情形，可使用与求解多项式极限问题类似的方法处理。如，

形如 的含三角函数多项式极限可利用 或 性质及三明治定理证明。直觉上， 时， 无足轻重。 应当起决定性作用，使得表达式趋近于 。事实也确实如此，我们可得到的一个结论是，求解形如 的多项式极限时，其中附加的正弦或余弦不产生影响。如，下例可简单写出（使用三明治定理进行完整证明）：

三角函数的导数

利用以上三角函数的极限可求得正弦、余弦函数的导数：

即，

即，

至此便可利用商法则和链式法则求得其他任意三角函数的导数。

即，

即，

即，

即，

隐函数

考虑导数 ，该导数表示对 稍作改变时， 的变化量。令 ，根据链式法则可将其表示为

例如，对于圆的方程 ，要求出切线斜率，仅需对方程关于 求导——在等号两边加上 ：

上式表示圆上点 处的切线斜率为 。又如，对于方程 ：

变化率

量 的变化率（rate of change）是 关于时间的导数，即 。相关变化率（related rates）描述了两个变化量间的变化率关系（how fast one of the quantities changes when the other one changes）。对方程关于 做隐函数求导能将各个变化率关联在一起，从而得到相关变化率，即，从一个量的变化率得到另一个量的变化率。

求解相关变化率的一般方法为写出关联所有量的方程、联立求解，求导后代入给定值。

例如，对球体积公式 关于时间求导，有

利用上式便可根据任意时刻的体积变化率和半径求得此时的半径变化率。利用隐函数可将上式表示为另一种形式——体积相对于半径的变化率：

指数函数和对数函数

考虑复利问题，设年利率为 ，每年记 次复利，则每次计算的利率为 ，有

显然， 较小时，复利计算越频繁，此倍数应当越大。继续考虑上式 时的极限 ：

设 ，：

设

则极限 可表示为

即，连续地计算复利时，增长倍数会趋近但不会超过量 ，或者说，增长是指数式的（虽然事实上「连续」的条件难以达成）。特别地，若年利率 ，极限为 。事实证明， 为无理数：

底数为 的对数称为自然对数，写作 。

重新设 ，，有

事实上，该极限于双侧成立。考虑 ，设 ，有

总结上述极限，并将 改为 ，有

可以被任意的当 时自身趋于 的量替换：

对于系数不匹配的情况，可利用指数运算求得极限，如

特别地， 时，极限为 ，即

指数函数和对数函数的导数

利用上述极限，则有

即，

特别地，

设 ，则 ，

即，

特别地，

取对数求导

处理形如 这样底数和指数均为 的函数的导数问题时可以使用取对数求导。 考虑

令 ，取自然对数再做隐函数求导：

另外一种方法是将指数换底：

然后使用乘积法则和链式法则完成求导。

取对数求导法还能用于简化复杂的涉及幂函数、指数函数的乘积和商的求导，如对下式求导：

对数运算法则可将乘积和商转换为加法，从而简化运算。

指数函数和对数函数的极限

诸如

这样的极限是导数伪装的极限，其主要特征为虚拟变量本身在分母上。此处的要点是识别 和 。令 、，，，

即，

同样地，上式的 也可被替换，系数不同时也能利用匹配技巧求解，如

TODO: review

事实证明，在 或 附近，指数函数增长迅速：

对数函数增长缓慢：

据此还可推广得到对数函数在 附近同样变化缓慢：

`## 指数增长和衰变 指数增长常见于自然界，如一定条件下的动物种群总数。设 ，其中 为常数，有 ，即

这是一个微分方程。事实上， 是得到 的唯一途径，即，

上式描述了 对于 的变化率为 的事实，即一个量变化的速率取决于其自身大小。 称为增长常数。

例如，设 为一个以指数增长的种群在时刻 的总数， 为增长常数， 为初始总数， 的微分方程为 ，因此，有指数增长方程

具有放射性的原子经过给定时间存在一定概率发生衰变。考虑一定数量的相同放射性原子，设其在时刻 的总数为 ，由于每个原子衰变的概率相同， 的衰变速率与其自身成比例，因此，其微分方程可写为

类似地，方程的解为

称 为衰变常数。原子减半所需的时间长度称为原子的半衰期。设原子的半衰期为 ，

双曲函数

双曲函数事实上是指数函数，但又拥有三角函数的特性。双曲余弦函数和双曲正弦函数的定义为

对其平方后作差可得

考虑其导数

即，

与正弦函数、余弦函数表现相似，双曲正弦函数和双曲余弦函数互为导数。

反函数

使用导数易证明反函数存在。考虑 的反函数 ，重写为 ，关于 求导有

即，

即，反函数的导数为原函数在对应反函数值处的导数的倒数。

反三角函数

三角函数均有周期性，因而无法通过水平线检验，反三角函数的定义基于定义域的限制。事实上，要使正弦函数 通过检验，至少需将其定义域限制为 ，值域为 。因此，关于反正弦函数有如下事实：

对其求导：

但事实上，观察 图像便会发现，其斜率总为正，斜率为负的部分均已被舍弃，因此有

定义时反余弦函数时， 的定义域则需被限制至 。因此，

类似地，有

由于斜率总为负，因此

可见，反正弦函数和反余弦函数的导数互为相反数，即，

也就是说， 的斜率为 ，为常数。考虑下图：

由于 ，：

证明反正弦函数和反余弦函数相加为常数 。

将 的定义域限制在 以得到 。因此，

即，

反双曲函数

使用类似的策略得到双曲函数的反函数：

根据图像，

根据图像，

反双曲函数的对数表示

我们用指数函数表示双曲函数，因而其反函数应当也能用对数函数表示。设 ，要表示其反函数即是表示出 ，等式两边同乘以 有：

要使上式有意义，。 时，，而若 继续增大，，。因此，，此时对数为负数。而 ，因此，只能取正的平方根。综上所述，

类似地，可以证明

洛必达法则

即使对于连续函数来说，简单的替换有时只能得到 型不定式或涉及无穷的形式，因而无法求得极限。洛必达法则（l’Hôpital’s rule）是利用导数求极限的方法。

型（A）

设 、 可导，考虑

若 ，则简单替换便能求得极限。若 而 ，则极限不存在， 有垂直渐近线。但事实上，从所有的导数 都能表示为 应当就能理解大多数极限都是 型不定式，即上式中 的情形。

该情形下，对 和 在 处线性化， 时有

因此，

即，

例如，

洛必达法则还可以连续使用，如，

事实上，若 且 ，即极限为 型不定式，洛必达法则同样适用。例如

可见，分母 在连续求导过程中不变，而 的高次幂最终被化至 ，印证指数增长迅速这一事实。

型（B1）

此类极限问题易通过通分及利用共轭式等代数技巧转换为 型后而使用洛必达法则处理。例如

型（B2）

类似地，仍然需要将此类极限转化以尝试得到使用洛必达法则的机会。例如，下例中将 转化为 以将 移至分母：

此处不转化项 的理由是对数求导较为复杂，事实上，此处这样做只会使问题复杂化。

指数（）型（C）

类似地，对于底数和指数中均含变量的极限，也应考虑对其取自然对数。例如，要求取 ，设 则得到 型不等式，可先考虑

至此，我们求得

事实上，由于 是关于 的连续函数，据此可写出

又如，求解 ，代入将得到 型不定式，与上例方法相同，易得到

因此，

对于极限 ，代入得到 型不定式，同理可解。事实上，任何指数型函数都应使用取对数的方法使问题转化为乘积或商的形式。