微分
导数
是 的导数，表示过 之切线斜率，可导的要求是在该点存在极限，而有
因此， 是「拉伸因子」： 中的小变化产生 倍 中的变化。
二阶导数表示为
若 可导，则 存在，可证
即「可导则连续」。反之，连续不一定可导。
运算法则
图像
极值分为全局和局部极值，全局极值一定是局部极值。导数为零或不存在的点称为临界点。极值定理描述，函数值为局部极值的点一定为临界点。反之，临界点不一定为极值（）。因此，求取极值仅需考虑临界点和端点。临界点间任意一点的导数应有相同的符号，即函数值在对应区间内单调。已知临界点则可以确定该点切线水平。
罗尔定理描述，若 ，则连续可导区间 内至少存在一个临界点（函数变化方向一定在区间内某点发生过改变）。
中值定理描述，有限连续函数的导数必定在某一点上为其平均值，即 内至少有一点 ，使得 。
对应 图像上切线斜率的变化情况。，则切线斜率递增，图像「凹向上」；反之，， 图像「凸向下」。函数左右二阶导数符号不一的点称为拐点，其图像两侧凹凸性不同。
三角函数
根据三角函数定义可得重要不等式
据此，
根据三明治定理可得
此为用于解决三角函数微积分问题的重要极限。事实上，式中的 能被任意趋近于 的「小数」替代。利用上述极限可得
指数函数和对数函数
由复利问题，我们定义
设 ，则
可以被任意的当 时自身趋于 的量替换。利用上述极限可得
处理形如 之函数的导数问题的方法是取自然对数再做隐函数求导。
在无穷附近，指数函数增长迅速，对数函数增长缓慢。“